地球の大気は上空80kmまで、一定の組成比です。それに対して、上空80kmでの酸素分子の落下速度は 70[cm/day] と見積もりました。天気予報とか見ていると、地球大気には対流とか偏西風とかいろんな風があります。ちょっとした風でも吹けば酸素はあっという間に巻き上がるでしょう。
いろんな風は難しそうなので、今回は熱対流の高度を計算します。
大気の温度勾配で対流が起こるか
大気に温度勾配があって、対流がおこるとします。
袋に入れた空気の上昇図
大気の状態を T(z)、P(z)、n(z)、袋の空気の状態を T'(z)、P'(z)、n'(z) とします。
ゆるい袋に入れた空気が上昇したとき、
n'(z) ≤ n(z) (1)
ならば、z まで上昇できます。
気温逓減率は Wikipedia を見て勉強しました。
γ1 = - dT / dz (2)
（ポアソンの法則と間違えないように添え字 1 としました。）
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高度[km] 0～11 11～20
逓減率γ1[K/km] -6.49 0 (-56.5℃)*1
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断熱膨張（ポアソンの法則）
比熱比もWikipediaを見て勉強しました。比熱比 γ2 は、
PVγ2 = 一定 (3)
γ2 = 1 + 1/c (4)
c : 自由度の 1/2、単原子分子で c=3/2 (5)
2原子分子で c=3 (6)
（逓減率と間違えないように添え字 2 としました。）
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気体 N2 O2 H2 H2O Air
比熱比γ2 1.402 1.40 1.410 1.33*2 1.403
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出典は流体工業株式会社
乾燥空気の熱上昇を計算
地上の断熱風船が高度 z まで上昇します。膨張して、外気の圧力と一致したとします。
P'(z) = P(z) , P'(0) = P(0) (7)
状態方程式から、
P'(0) = n(0) kB T'(0) , P'(z) = n(z) kB T'(z) (9)
(3)ポアソンの法則より
P'(0)V'(0)γ2 = P'(z)V'(z)γ2 (10)
高度 z の気圧を、(10-8) から
P(z) = P(0) exp( - z / z0 )
z0 = kB T(0) / mg = 7.06 [km] (10-8)
ここで、z0 は大気が窒素のみ、-40℃ の値です。
高度 z での袋内の状態を求めます。(10) に (7) と (10-8) を代入します。
V'(0)γ2 = V'(z)γ2 exp( - z / z0 ) (11)
V'(z) / V'(0) = exp( z / γ2z0 ) (12)
(12) 式では指数関数の肩 ( z / γ2z0 ) が正なので膨張します。密度は
n'(z) = N / V'(z) (13)
n'(z) / n'(0) = V'(0) / V'(z) = exp( - z / γ2z0 ) (14)
温度は、(9)、(7)、(8) より
P(z) / P(0) = n(z) / n'(0) × T'(z) / T'(0) (15)
T'(z) / T'(0) = exp{ - ( 1 - 1/γ2 ) z / z0 } (16)
袋の温度を大気の気温逓減率と比較します。大気の温度は (2) より、
T(z) = T(0) - 6.49 z (17)
(16) に空気の値を代入します。
T'(z) = T'(0) exp{ - 0.0407 z } (18)
地表温度を 288[K](15℃) として、(17) と (18) を比較します。
気温逓減率と断熱膨張の図
高度11kmで比べると、気温より風船のほうが冷たい、つまり重いことがわかります。大気は上空のほうが冷たくても、対流しないことがわかります。
水蒸気を含む場合
上昇して水滴が出てくる図
今度は、袋の中の空気が水蒸気をたっぷり含んでいるとします。これが上昇し、断熱膨張すれば、温度が低下して水は凝縮します。凝縮熱で温度は上昇します。上昇できる条件は (1) の粒子数密度に加えて水滴の重さも含みます。圧力は外圧と一致 (7) するとします。
地上は30℃ とします。30℃ の空気と水のパラメータを集めます。
空気 - Wikipedia、飽和水蒸気量 - Wikipedia
水：μw = 18.01528[g/mol]
1気圧： P = 101325[Pa]
気体定数：R = 8.3145[J mol-1K-1]
定圧比熱：cp = 1005[J kg-1 K-1]
気化熱： Q = 44.0[kJ/mol] (25℃)<
昇華熱： QSV = 51[kJ/mol] (たぶん0℃1気圧)</
乾燥空気のモル質量：μAIR = 28.966[g/mol]
飽和水蒸気量と飽和時の空気の密度(地表)
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t[℃] a[g/m3] ρ[kg/m3]
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40 51.1 1.128
30 30.3 1.165
20 17.2 1.205
10 9.39 1.247
0 4.85 1.293
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乾燥空気の密度(地表、1気圧)
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t[℃] ρ[kg/m3]
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30 1.1761
15 1.2373
-40 1.5291
-56.5 1.6457
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30℃の飽和状態の空気がどこまで上昇できるか考えます。思考実験なので、地上で乾燥空気と水滴に分離しておきます。
思考手順の図
①水蒸気分の体積減少
V'1 = V'0 [ 1 - (a / μw) R T'0 / P'0 + a / ρw ] (19)
(19)式の第2項は水蒸気の体積で、第3項は水滴の体積です。括弧内だけで見ると、第2項は O(10-2) で、第3項は O(10-5) なので、第3項は無視します。
V'1 = 0.958 V'0 (20)
②温度上昇(水の分は無視)、低圧比熱で、
( a / μw ) V'0 Q = ( ρ' - a ) V'0 cp ΔT + a V'0 cpw ΔT (21)
左辺は水蒸気が全部液化したときの発熱です。右辺第1項は空気を温め、第2項は水を温めます。水の定圧比熱 cpw は空気の定圧比熱 cp の4倍程度なので、右辺第2項は無視します。
T'2 ≅ T(0) + ( a / μw ) Q / ( ρ'0 cp ) = T(0) + 63.26[K] (22)
T'2 ≅ 366[K] (23)
V'2 = ( T'2 / T'1 ) V'1= 1.157 V'0 (24)
膨らんでるので軽くなります！
このちょっと膨らんだ空気の袋が上昇して、断熱膨張すると考えます。具体的には、(7) から (16) までの計算をくり返します。初期温度は T'2 、初期密度は
ρ'2 = ρ'0 V'0 / V'2 = 1.007 [kg/m3] (27-2)
(9)～(12) は変更ありません。
V'(z) / V'2 = exp( γ2-1 z / z0 ) (25)
袋の重さは、a V'0 分大きくなります。外気の密度は、温度一定のとき、
ρ(z) = m n(z) = m n(0) exp( - z / z0 ) (26)
m は1分子の質量で、二つ目の変形は (10-8) 式を使いました。これと比較するのは、
ρ'(z) = ρ'0 V'0 / V'(z) = ρ'0 V'0 / V'2 exp( - γ2-1 z / z0 ) (27)
ρ(z) ≦ ρ'(z) ならば、上昇は止まります。ちょうど止まる高度は、
m n(0) = ρ'0 V'0 / V'2 exp{( 1 - γ2-1 ) z / z0 } (28)
z = R T0 / ( μ g ) × (1 - γ2-1 )-1 ln { ρ(0) V'2 / ( ρ'0 V'0 ) } (29)
z0 = R T0 / ( μ g ) (大気の主な分布高度), γ2 = 1.403 (空気の比熱比)
このとき、大気が平衡状態で、気温が上空まで一定ならば、最大上昇高度はこうなります。
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気温 t [℃] 上昇高度 z [km](水)
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15 6.04 (乱層雲のような高度)
-40 9.92 (絹層雲あたり)
-56.5 10.84 (かなとこ雲の小さいやつ)
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-40℃ とかって、凍りますね！
空気中の水蒸気が凍る場合
水が氷になったら、もっと発熱します。(22) の代わりに、
T'3 ≅ T(0) + ( a / μw ) QSV / ( ρ'0 cp ) = T(0) + 73.32[K] (32)
T'3 ≅ 376[K] (33)
V'3 = ( T'3 / T'1 ) V'1= 1.24 V'0 (34)
(25) の代わりに、
V'(z) = V'3 exp( γ2-1 z / z0 ) (35)
上昇が止まる高度は、(29) より、
z = R T0 / ( μ g ) × (1 - γ2-1 )-1 ln { ρ(0) V'3 / ( ρ'0 V'0 ) } (36)
= 0.1019 T0 ln { ρ(0) / 0.9395 } (37)
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気温 t [℃] 上昇高度 z [km](水) 上昇高度 z [km](氷)
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15 6.04 8.08
-40 9.92 11.57
-56.5 10.84 12.38
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氷になると、水よりちょっと高くあがります。
30℃ の空気が上昇できる限界は、対流圏程度です。何か、すごく普通の結果になりました(^^;
前回：[重力と気体の熱力学]剛体球の落下の終端速度
次回：未定
参考：後で書き足します
気温逓減率 気温減率 - Wikipedia
比熱比 比熱比 - Wikipedia、技術資料 気体の密度 - 流体工業株式会社
飽和水蒸気量 空気 - Wikipedia、飽和水蒸気量 - Wikipedia、
雲の高度 雲を愛する技術 荒木健太郎 | 光文社新書 | 光文社
、
Wikipedia、機械用語集
自分のサイト 空気の密度
計算ノート⑯対流はどこまで？
計算ノート⑩理想気体、マクスウェル分布、圧力は
