魔女の小さな冒険

魔女のちいさな探検

ゆっくりゆっくり進みます。

「あ」と「う」

 下の子が、

「あ」より「う」の方がよく響く。

って言い出しました。2人で廊下に出て、試してみました。

私「うーーーー。」

私「あーーーー。」

私「どう?」

子「声の大きさ一緒にして?」

 

 結果。響くかどうかよりも、同じ息の量で「あ」の方が大きな声が出ました。なるほどねえ。

アルミ缶の風車

 アルミ缶で風車を作りました。

手順:(詳細はこちら)

上下に1cm間隔で印を付ける。(上下ずれる)

半径10センチの型紙をあてて、上下の印を結ぶ。

曲線をカッターで軽くなぞる。(ギザギザのとか、細いのができる)

表面をべこべこして、カッター線を折って切り離す。(べこべこになる)

上下をラジオペンチで斜めに折る。

針金を通して完成!


f:id:sasaki910352:20220504153305j:image

 いや、下手くそなんですけど!

 口で吹いてみると、右を吹けば左に回り、左を吹けば右に回り。これ、きれいに作れたとして、回るもの?

 ところが、外に吊るしてみたら左に回り続けました。えー、どうしてなのかわかりません!多分、飛行機が飛ぶのと同じ何かです。

 飛行機はどうして飛ぶの?

重音テトさんでテトペッテンソン

 音声キャラクター『重音テト』のにわかファンになりました。

 テトさんは、名前が決まる前の仮の名前が『テトペッテンソン』だったそうです。それなら初めて打ち込む曲は『テトペッテンソン』かなと思って作ってみました。
 で、作りながら探してみたのですが、テトさんの『テトペッテンソン』ってそれほど作ってる人いないのですね。キッズジャンルとしては『かえるのうた』のほうが人気です。
 打ち込んでみてわかったのですが、『テトペッテンソン』は初回チャレンジとしては難しいです。難しかった点

耳コピ
・音階が、オリジナルと日本のもので違う
・リコーダーや金管楽器の音が埋もれている
・自分にとって程よいテンポがわからない
音声合成(UTAU)
・連続音が主流のようだが単独音のほうが初心者向けだった
・音をきれいにつなげるために手で調整が必要
プラグインはどれが良いのかわからない
・エンジンはどれが良いのかわからない
・コーラス用に簡単な音源素材がわからない
・叫ぶ部分は音階がないのでピッチで調整
〇全体の楽曲編成(PreSounds4)
・ボーカルとコード、ベースの音量のバランスはどの辺が良いのかわからない

 ある程度は頑張ったのですが、「ん」が変に目立つのと、コーラス部分「そ」「しゅ」でシャリーン音が出るのは直せませんでした。太鼓の音でごまかしました。

 『かえるのうた』のほうが初心者向けでした(^^; 

 ダメダメ日記で終わるのは良くないので、がんばったところも書きます。

・子供たちの鍋パレード。風呂場で換気扇を切って録音しました。
・おっさんの声はトロンボーン。人の声だと怖い感じだったので楽器にしました。
・ピッコロとの掛け合いをずんだもんに変更して、5番から6番にずらしました。
・テトさん人形を描きました。クレヨンツールで描くと、いらすとやの絵となじみます。

 おっさんの声は、最初虚音(うろね)イフさんにしようと思ったのですね。でも、バスまで下げると怖い声になる。低音で声がボボボボボってなるのは調声の限界かと思ったのですが、息子に声を出してもらったらやっぱりボボボボボって聞こえます。あと、連続音源を使うと、音のつなぎ目で二人歌っているように聞こえます。あとで調べたら、人の声と楽器の音は基本的に違うみたいなのですね。(「人の声」のつくりかた:合成音声の仕組み | Smart Sound Lab)たぶん、同じ「お」でも、表情に若干ずれがあって、フォルマント(音のピークの分布)がずれているのだと思います。

 合成音声の仕組みとか見ちゃうと、テトさん音源をフィッテイングしてロボ化して、表情も付けてきれいに歌わせられないかなあと思いますね。テトさんとリツさんで『北斗の拳』とか、想像するだけで楽しいですね。テトさんが元気全開で「きーぷゆーばーにん!」リツさんがセクシーに「ノーボーイノークライ♡」最高!

 

参考、利用:
 UTAUの使い方:チラシの裏 ~UTAU調声メモ~
  口語訳UTAU講座Vol.3~単独音の原音設定~|八歌(やうた)

 歌:テトペッテンソン | NHK みんなのうた
  【アンリ・デス】 Le beau tambour 【テトペッテンソンの原曲】 - ニコニコ動画

 コーラス:テトペッテンソン / 井上順 ピアノコード 


 画像素材: みんちりえ いらすとや

 声音源:東北ずん子 公式HP(ずんだもん、東北ずん子,東北きりたん、東北イタコ)
   重音テト和音マコ雛乃木まや 波音リツ

 歌声合成:UTAU NEUTRINO
 UTAUのプラグインおま☆かせ2020 ZteerのUTAU関連物
  拡張すっぴんプラグイン

 

 楽曲編成:Studio One 4
 イラスト編集:FireAlpaca
 動画作成:AviUtl

UTAUで打ち込んでみた

 ゆっくりムービーメーカーで、自分っぽい声を作るには・・・で調べていったら、UTAUにたどり着きました。UTAUおもしろいです!『赤とんぼ』を打ち込んでみたら、意外と音程が低かったです。

自分の声をちょっとかわいめに加工できたりします(^-^) 

音がぴよんとなるところが、プロと違って悲しいところ。

f:id:sasaki910352:20220316122943p:plain

追記 ぴよんの原因は、録音時の音程でした。録音時、「ああいあう」が一定音で言えればぴよんになりません。

参考:

 音声収録:音楽とソフト - OREMO

 原音設定:音楽とソフト - setParam

 音声合成歌声合成ツールUTAU ダウンロードページ

 強弱:PreSonus | Studio One日本語ポータルサイト - powered by MI7

 音声ファイルをブログに貼る:はてなブログで音声データを貼り付ける方法 - こめつぶチャンネル

 楽譜:美しき日本のうた 増訂版 | 野ばら社(参考にしたのは旧版)

対流はどこまで?

 地球の大気は上空80kmまで、一定の組成比です。それに対して、上空80kmでの酸素分子の落下速度は 70[cm/day] と見積もりました。天気予報とか見ていると、地球大気には対流とか偏西風とかいろんな風があります。ちょっとした風でも吹けば酸素はあっという間に巻き上がるでしょう。

 いろんな風は難しそうなので、今回は熱対流の高度を計算します。

大気の温度勾配で対流が起こるか

 大気に温度勾配があって、対流がおこるとします。

袋に入れた空気の上昇図

 大気の状態を T(z)、P(z)、n(z)、袋の空気の状態を T'(z)、P'(z)、n'(z) とします。  

ゆるい袋に入れた空気が上昇したとき、

  n'(z) ≤ n(z)                            (1)

ならば、z まで上昇できます。

 

気温逓減(ていげん)率 (Wikipedia)

 気温逓減率は Wikipedia を見て勉強しました。

  γ1 = - dT / dz                           (2)

ポアソンの法則と間違えないように添え字 1 としました。)

------------------------------------------------------------------------
高度[km]      0~11      11~20
逓減率γ1[K/km]   -6.49       0 (-56.5℃)*1
------------------------------------------------------------------------

断熱膨張(ポアソンの法則)

 比熱比もWikipediaを見て勉強しました。比熱比 γ2 は、

  PVγ2 = 一定                        (3)

  γ2 = 1 + 1/c                        (4)

  c : 自由度の 1/2、単原子分子で c=3/2             (5)

          2原子分子で c=3              (6)

(逓減率と間違えないように添え字 2 としました。)

------------------------------------------------------------------------
気体   N2  O2  H2  H2O  Air
比熱比γ2 1.402 1.40 1.410 1.33*2 1.403
------------------------------------------------------------------------
                   出典は流体工業株式会社

乾燥空気の熱上昇を計算

 地上の断熱風船が高度 z まで上昇します。膨張して、外気の圧力と一致したとします。

  P'(z) = P(z) , P'(0) = P(0)                      (7)

状態方程式から、

  P'(0) =  n(0) kB T'(0) , P'(z) =  n(z) kB T'(z)               (9)

(3)ポアソンの法則より

  P'(0)V'(0)γ2 = P'(z)V'(z)γ2                      (10)

高度 z の気圧を、(10-8) から

  P(z) = P(0) exp( - z / z0 )
    z0 = kB T(0) / mg = 7.06 [km]                 (10-8)

ここで、z0 は大気が窒素のみ、-40℃ の値です。

 高度 z での袋内の状態を求めます。(10) に (7) と (10-8) を代入します。

  V'(0)γ2 = V'(z)γ2 exp( - z / z0 )                    (11)
  V'(z) / V'(0) = exp( z / γ2z0 )                     (12)

(12) 式では指数関数の肩 ( z / γ2z0 ) が正なので膨張します。密度は

  n'(z) = N / V'(z)                          (13)
  n'(z) / n'(0) =  V'(0) / V'(z) = exp( - z / γ2z0 )              (14)

温度は、(9)、(7)、(8) より

  P(z) / P(0) = n(z) / n'(0) × T'(z) / T'(0)                 (15)
  T'(z) / T'(0) = exp{ - ( 1 - 1/γ2 ) z / z0 }                 (16)

 袋の温度を大気の気温逓減率と比較します。大気の温度は (2) より、

  T(z) = T(0) - 6.49 z                         (17)

(16) に空気の値を代入します。

  T'(z) = T'(0) exp{ - 0.0407 z }                     (18)

地表温度を 288[K](15℃) として、(17) と (18) を比較します。

 気温逓減率と断熱膨張の図

 高度11kmで比べると、気温より風船のほうが冷たい、つまり重いことがわかります。大気は上空のほうが冷たくても、対流しないことがわかります。

水蒸気を含む場合

上昇して水滴が出てくる図

 今度は、袋の中の空気が水蒸気をたっぷり含んでいるとします。これが上昇し、断熱膨張すれば、温度が低下して水は凝縮します。凝縮熱で温度は上昇します。上昇できる条件は (1) の粒子数密度に加えて水滴の重さも含みます。圧力は外圧と一致 (7) するとします。

 地上は30℃ とします。30℃ の空気と水のパラメータを集めます。

   空気 - Wikipedia飽和水蒸気量 - Wikipedia 

  水:μw = 18.01528[g/mol] 
  1気圧: P = 101325[Pa]
  気体定数R = 8.3145[J mol-1K-1]
  定圧比熱:cp = 1005[J kg-1 K-1]
  気化熱: Q = 44.0[kJ/mol] (25℃)<
  昇華熱: QSV = 51[kJ/mol] (たぶん0℃1気圧)</
  乾燥空気のモル質量:μAIR = 28.966[g/mol]

  飽和水蒸気量と飽和時の空気の密度(地表)
  -----------------------------------------------
    t[℃]  a[g/m3]  ρ[kg/m3]
  -----------------------------------------------
    40   51.1   1.128
    30   30.3   1.165
    20   17.2   1.205
    10   9.39   1.247
      0   4.85   1.293
  -----------------------------------------------
  乾燥空気の密度(地表、1気圧)
  -----------------------------------------------
    t[℃]       ρ[kg/m3]
  -----------------------------------------------
     30        1.1761
     15        1.2373
    -40        1.5291
    -56.5        1.6457
  -----------------------------------------------

30℃の飽和状態の空気がどこまで上昇できるか考えます。思考実験なので、地上で乾燥空気と水滴に分離しておきます

思考手順の図

①水蒸気分の体積減少

  V'1 = V'0 [ 1 - (a / μw) R T'0 / P'0 + a / ρw ]                (19)

(19)式の第2項は水蒸気の体積で、第3項は水滴の体積です。括弧内だけで見ると、第2項は O(10-2) で、第3項は O(10-5) なので、第3項は無視します。

  V'1 = 0.958 V'0                            (20)

②温度上昇(水の分は無視)、低圧比熱で、

  ( a / μw ) V'0 Q = ( ρ' - a ) V'0 cp ΔT + a V'0 cpw ΔT             (21)

左辺は水蒸気が全部液化したときの発熱です。右辺第1項は空気を温め、第2項は水を温めます。水の定圧比熱 cpw は空気の定圧比熱 cp の4倍程度なので、右辺第2項は無視します。

  T'2T(0) + ( a / μw ) Q / ( ρ'0 cp ) = T(0) + 63.26[K]            (22)
  T'2 ≅ 366[K]                             (23)
  V'2 = ( T'2 / T'1 ) V'1= 1.157 V'0                      (24)

膨らんでるので軽くなります!

 このちょっと膨らんだ空気の袋が上昇して、断熱膨張すると考えます。具体的には、(7) から (16) までの計算をくり返します。初期温度は T'2 、初期密度は

  ρ'2 = ρ'0 V'0 / V'2 = 1.007 [kg/m3]                   (27-2)

(9)~(12) は変更ありません。

  V'(z) / V'2 = exp( γ2-1 z / z0 )                       (25)

袋の重さは、a V'0 分大きくなります。外気の密度は、温度一定のとき、

  ρ(z) = m n(z) = m n(0) exp( - z / z0 )                   (26)

m は1分子の質量で、二つ目の変形は (10-8) 式を使いました。これと比較するのは、

  ρ'(z) = ρ'0 V'0 / V'(z) = ρ'0 V'0 / V'2 exp( - γ2-1 z / z0 )            (27)

ρ(z) ≦ ρ'(z) ならば、上昇は止まります。ちょうど止まる高度は、

  m n(0) = ρ'0 V'0 / V'2 exp{( 1 - γ2-1 ) z / z0 }                (28)
  z = R T0 / ( μ g ) × (1 - γ2-1 )-1 ln { ρ(0) V'2 / ( ρ'0 V'0 ) }           (29)
    z0 = R T0 / ( μ g ) (大気の主な分布高度),   γ2 = 1.403 (空気の比熱比)

このとき、大気が平衡状態で、気温が上空まで一定ならば、最大上昇高度はこうなります。

------------------------------------------------------------------------
気温 t [℃]   上昇高度 z [km](水)
------------------------------------------------------------------------
     15       6.04   (乱層雲のような高度)
    -40      9.92   (絹層雲あたり)
    -56.5    10.84   (かなとこ雲の小さいやつ)
------------------------------------------------------------------------

-40℃ とかって、凍りますね!

空気中の水蒸気が凍る場合

 水が氷になったら、もっと発熱します。(22) の代わりに、

  T'3T(0) + ( a / μw ) QSV / ( ρ'0 cp ) = T(0) + 73.32[K]           (32)
  T'3 ≅ 376[K]                             (33)
  V'3 = ( T'3 / T'1 ) V'1= 1.24 V'0                      (34)

(25) の代わりに、

  V'(z) = V'3 exp( γ2-1 zz0 )                       (35)

上昇が止まる高度は、(29) より、

  z = R T0 / ( μ g ) × (1 - γ2-1 )-1 ln { ρ(0) V'3 / ( ρ'0 V'0 ) }           (36)

   = 0.1019 T0 ln { ρ(0) / 0.9395 }                    (37)

------------------------------------------------------------------------
気温 t [℃]   上昇高度 z [km](水)   上昇高度 z [km](氷)
------------------------------------------------------------------------
     15       6.04          8.08
    -40      9.92         11.57
    -56.5    10.84         12.38
------------------------------------------------------------------------

 氷になると、水よりちょっと高くあがります。

 30℃ の空気が上昇できる限界は、対流圏程度です。何か、すごく普通の結果になりました(^^; 

 

 

前回:[重力と気体の熱力学]剛体球の落下の終端速度

次回:未定

参考:後で書き足します

 気温逓減率 気温減率 - Wikipedia
 比熱比 比熱比 - Wikipedia技術資料 気体の密度 - 流体工業株式会社
 飽和水蒸気量 空気 - Wikipedia飽和水蒸気量 - Wikipedia
 雲の高度 雲を愛する技術 荒木健太郎 | 光文社新書 | 光文社

 

Wikipedia、機械用語集

自分のサイト 空気の密度
計算ノート⑯対流はどこまで?
計算ノート⑩理想気体、マクスウェル分布、圧力は

*1:自分のフィッティングは-40℃だ った

*2:コトバンクを参照した

PowerPointで作った数式と、Markdownで作った数式

パワポで作ってコピペ:
数式は画像になるようです。html編集で<table>を使って、式番号を揃える必要があります。
<table style="border: none;">
<tbody>
<tr style="border: none;">
<td style="border: none;"><img src="https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/s/sasaki910352/20210907/20210907125715.png"  width="304" height="48"  /></td>
<td style="border: none;"> </td>
<td style="border: none;">[tex: \tag{1} \label{1}]</td>
</tr>
</tbody>
</table>

f:id:sasaki910352:20210907125715p:plain    \tag{1} \label{1}

はてなブログでポチポチ打ち込み:

[tex: \left\langle \left(\varDelta\vec{r}_0\right)^2 \right\rangle = i \langle \vec{\lambda} ^2 \rangle = i \lambda^2 = ( t / \tau ) \lambda ^2 \tag{2}]

 \left\langle \left(\varDelta\vec{r}_0\right)^2 \right\rangle = i \langle \vec{\lambda} ^2 \rangle = i \lambda^2 = ( t / \tau ) \lambda ^2 \tag{2}

\lambdaを日本語λで打ってみました。

 \left\langle \left(Δ\vec{r}_0\right) ^2 \right\rangle = i \langle \vec{λ} ^2 \rangle = i λ^2 = ( t /τ ) λ ^2 \tag{2-2}

 

パワポでコピペ:<table>を使わない場合

f:id:sasaki910352:20210907125655p:plain \tag{3}

はてな打ち込み:

 D = \dfrac{\mathit{\lambda}^{2}}{ 6 \mathit{\tau} } = \dfrac{λ}{6} ( 3 z_{0} g )^{1/2} \tag{4}

パワポのほうが使い勝手がいいかも(^^; パワポはフォントサイズが16で、はてなは(この記事作成時点で)フォントサイズが17です。

式番号は

> \tag{式番号}で式番号を指定できます。また、式には\label{ラベル名}でラベルを付け、\eqref{ラベル名}で参照可能です。

 

だそうです。やってみます。式 \eqref{1}。リンクもできるようです。パワポ画像貼り付けだと、高さ揃えが面倒です。最近数式が多いし、どうしようかな(^^;

はてな打ち込み、AIRを小さく:

[tex: μ_{AIR}],[tex: μ_{_{AIR}}] ,[tex: μ_{\scriptscriptstyle{AIR}}] ,[tex: μ_{\scriptstyle{AIR}} ]

 μ_{AIR}, μ_{_{AIR}} , μ_{\scriptscriptstyle{AIR}} , μ_{\scriptstyle{AIR}}

 

ワードの場合

数式テスト

                                           (1)

数式テスト2

                                          (2)

そいそい

                                                (3)

何も張り付いていないように見えます(^^; htmlで見ても、半角スペース的な点々が表示されます。

 

参考:

このページで数式番号を付けた数式の記載 - Qiita

Markdown + LaTeXサンプル – Lecture

ワードで数式を挿入するショートカットキー(Win/Mac)|Office Hack

Word2016:数式は左揃え、数式番号は右揃えにする方法 −教えて!HELPDESK

htmlやCSSで画像の横に文字を並べる方法6種【複数行OK】

剛体球の落下の終端速度

 前回は重力下の拡散のモデルから、上空80kmでの酸素分子の落下速度を 70[cm/day] としました。

 今回は、剛体球の落下の終端速度から、酸素分子が空気中を落下する速度を計算します。まず、いろんなサイトから、それらしいものを拾ってきました。

[1]パラメータ集め

 剛体球の落下の終端速度 u_t は、(Wikipediaより)

  u_t = [ d^2 ( ρ_s - ρ_f ) g ] / (18 μ_f )   ( 層流域、Re < 2 )   (1)
  u_t = [ ( 4/225 ) ( ρ_s - ρ_f )^2 g^2 / ( ρ_f μ_f ) ]^(1/3) d   ( 中間域、2 < Re < 500 )   (2)
  u_t = [ ( 4/3/0.44 ) ( ρ_s - ρ_f ) g d / ρ_f ]^(1/2)   ( 乱流域、500 < Re < 10^5 )   (3)

各パラメータは、

  Re = d u ρ_f / μ_f :レイノルズ数                  (4)
  d:球の直径 [m]
  ρ_s:球の質量密度 [kg/m^3]
  ρ_f:空気の質量密度 [kg/m^3]
  g = 9.807 [m/s^2] :重力加速度
  μ_f:空気の粘性係数 [kg・s/m^2]

空気の粘性係数は、(高木郁二、エネルギー理工学設計演習 実験2より)

  μ_f = m v / [ 3 × 2^(1/2) σ ]                (7)
  m :気体分子の質量
  v :気体分子の平均速度
  σ :気体分子の散乱断面積

圧力も数密度も出てきません。速度に、気体分子の平均自由行程の(12)式を代入します。

  v^2 = 3 k_B T / m                  (12-12)
  μ_f = ( m k_B T / 6 )^(1/2) / σT^(1/2)           (8)

μ_f は、温度の関数になります。

 1気圧での空気の粘性係数は、(機械用語集より)

 ―――――――――――――――――――――――
  温度 t [℃]   ρ_f [kg/m^3]  μ_f [10^(-5) Pa・s]
 ―――――――――――――――――――――――
    -10     1.342     1.673
       0     1.293     1.724
     20     1.205     1.822
     40     1.128     1.915
 ―――――――――――――――――――――――

[2]粘性係数の計算

 0℃の粘性係数を基準として、(8)式より、上空80kmの大気の粘性係数を計算してみます。

 ――――――――――――――――――――――――――――――――――
   t [℃]   ρ_f [kg/m^3]   ρ_f (高度80km)  μ_f [10^(-5) Pa・s]  (8)よりμ_f
 ――――――――――――――――――――――――――――――――――
   -56.5                                        1.535
   -40              9.870×10^(-6)                      1.593
   -10    1.342            1.673       1.692
      0    1.293            1.724      (1.724)
    15    1.227                            1.771
    20    1.205            1.822       1.786
    40    1.128            1.915       1.846
 ――――――――――――――――――――――――――――――――――

(8)式から求めた粘性係数 μ_f (黒字)と、機械用語集の μ_f (灰色)とで、値がずれています。有効数字は1桁ですが、そのまま進めます(^^; 

 高度80kmでの大気の質量密度 ρ_f は、平衡気温を-40℃と仮定して、

  m = 28.966×10^(-3) /N_A            (14-11d)下
  N_A = 6.022×10^(23) [mol^(-1)]
  n = n_0 exp( - z / z_0 )              (12-24)下
  n_0 = 2.55×10^(25) [m^(-3)]           (14-14a)
  z_0 = 6820 [m]                 (10-8)下

などから算出しました。

[3]酸素の落下速度の計算

 高度80km、気温-40℃での酸素の落下速度 u_t を計算します。酸素の落下速度は非常にゆっくりだと想像できるので、Re < 2 の(1)式を使います。

  u_t = [ d^2 ( ρ_s - ρ_f ) g ] / (18 μ_f )             (1)

 分子の質量密度 ρ_s は、m / d^3 程度でよいでしょう。ここで問題なのは、分子の大きさ d はどの程度が適当かということです。とりあえずいろいろ試します。

分子の直径から

窒素分子と酸素分子の絵

 分子の直径から、落下速度を評価します。

   ρ_s = m / ( π d^3 / 6 )                   (9)

 ―――――――――――――――――――――――――――
     ρ_s [kg/m^3] 落下速度 u_t [m/s] u_t [m/year]
 ―――――――――――――――――――――――――――
  窒素  1.644×10^3 8.034×10^(-12)
  酸素  2.087×10^3 9.509×10^(-12) 3.00×10^(-4)
 ――――――――――――――――――――――――――― (10), (11)

窒素も落下しました。却下!

1分子当たりの占有体積から

分子を箱で囲む絵

 空気の数密度から、落下速度を評価します。

   ρ_s = m n_0(z)                      (12)
  n_0(80) = 2.55×10^(25) exp( -80 / 6.82 )          (14-14)
       = 2.05×10^(20) [m^(-3)]
  d = 1.70×10^(-7) [m]                   (13)

 ―――――――――――――――――――――――――――
     ρ_s [kg/m^3] 落下速度 u_t [m/s] u_t [m/year]
 ―――――――――――――――――――――――――――
  窒素  9.54×10^(-6) -3.26×10^(-16) -1.03×10^(-8)
  酸素  10.9×10^(-6)   1.02×10^(-15)  3.21×10^(-8)
 ――――――――――――――――――――――――――― (14), (15)

窒素浮上で定性的には合格です。終端速度で計算すると、酸素分子が1km落下するのに、300万年かかります。ほぼ落ちてこないね(^^; 

1000個程度のクラスタ

分子の箱を重ねる絵

 (12)式の ρ_s はそのままにして、 (13)式の d を10倍にします。酸素がたまたま1000個クラスターになっていたら、もっと速く落下するかも。

 ――――――――――――――――
      落下速度 u_t [m/year]
 ――――――――――――――――
  窒素   -1.03×10^(-6)
  酸素    3.21×10^(-6)
 ――――――――――――――――

 ちょっと速くなりました。それでも、年間数 μm です。酸素分子が1km落下するのに、3万年かかります。

更に大きなクラスタ

箱の絵

 d を100倍にします。

 ――――――――――――――――
      落下速度 u_t [m/year]
 ――――――――――――――――
  窒素   -1.03×10^(-4)
  酸素    3.21×10^(-4)
 ――――――――――――――――

 年間数 mm です。こんな大きなクラスターが偶然できたとしても、拡散でバラバラになる時間のほうがずっと短いので、意味がなかったかもしれません(^^; 

レイノルズ数を確認

 終端速度 u_t はレイノルズ数 Re で決まりますが、Re は u_t で決まります。層流域 (Re < 2) の公式を使って良いのか自信ないので、確認しておきます。ρ_s は最速の(9)式です。

 ―乱流域の公式(3)―――――――――――――――
        u_t [m/s]     Re
 ―――――――――――――――――――――――
  窒素    4.537      1.063
  酸素    5.023      1.136
 ―――――――――――――――――――――――

Re<2 です。

 ―中間域の公式(2)―――――――――――――――
        u_t [m/s]     Re
 ―――――――――――――――――――――――
  窒素   1.167×10^(-4)   
  酸素   1.321×10^(-4) 2.987×10^(-5)
 ―――――――――――――――――――――――

これも Re<2 です。層流域の公式(1)で大丈夫でした!

[4]まとめ

  終端速度の公式(1)~(3)は、空気の分子間距離に比べて剛体球が十分に大きいときに用います。例えば、空気中を雲のような霧粒や花粉が落ちてくる、などです。この公式を無理に使うと、上空 80km で酸素分子が 1km 沈降する時間は300万年です。前回重力下の拡散から試算した時間は 3.8年でした。

 拡散 + 落下のほうが圧倒的に早いので、酸素分子が沈降するとしたらこの機構でしょう。終端速度はどうでもいいということがわかりました(^^; 

 地球の大気が上空まで同じ組成なのは、風で巻き上がるせいかもしれません。次回は、対流の話です。つづくよ。

 

前回:[重力と気体の熱力学]空気分子の拡散運動

次回:[重力と気体の熱力学]対流はどこまで?

参考:後で書きます

Wikipedia、機械用語集

計算ノート⑰空気中の落下の終端速度