前回は重力下の拡散のモデルから、上空80kmでの酸素分子の落下速度を 70[cm/day] としました。
今回は、剛体球の落下の終端速度から、酸素分子が空気中を落下する速度を計算します。まず、いろんなサイトから、それらしいものを拾ってきました。
[1]パラメータ集め
剛体球の落下の終端速度 u_t は、(Wikipediaより)
u_t = [ d^2 ( ρ_s - ρ_f ) g ] / (18 μ_f ) ( 層流域、Re < 2 ) (1)
u_t = [ ( 4/225 ) ( ρ_s - ρ_f )^2 g^2 / ( ρ_f μ_f ) ]^(1/3) d ( 中間域、2 < Re < 500 ) (2)
u_t = [ ( 4/3/0.44 ) ( ρ_s - ρ_f ) g d / ρ_f ]^(1/2) ( 乱流域、500 < Re < 10^5 ) (3)
各パラメータは、
Re = d u ρ_f / μ_f ：レイノルズ数 (4)
d：球の直径 [m]
ρ_s：球の質量密度 [kg/m^3]
ρ_f：空気の質量密度 [kg/m^3]
g = 9.807 [m/s^2] ：重力加速度
μ_f：空気の粘性係数 [kg・s/m^2]
空気の粘性係数は、(高木郁二、エネルギー理工学設計演習 実験２より)
μ_f = m v / [ 3 × 2^(1/2) σ ] (7)
m ：気体分子の質量
v ：気体分子の平均速度
σ ：気体分子の散乱断面積
圧力も数密度も出てきません。速度に、気体分子の平均自由行程の(12)式を代入します。
v^2 = 3 k_B T / m (12-12)
μ_f = ( m k_B T / 6 )^(1/2) / σ ∝ T^(1/2) (8)
μ_f は、温度の関数になります。
1気圧での空気の粘性係数は、(機械用語集より)
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温度 t [℃] ρ_f [kg/m^3] μ_f [10^(-5) Pa・s]
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-10 1.342 1.673
0 1.293 1.724
20 1.205 1.822
40 1.128 1.915
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[2]粘性係数の計算
0℃の粘性係数を基準として、(8)式より、上空80kmの大気の粘性係数を計算してみます。
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t [℃] ρ_f [kg/m^3] ρ_f (高度80km) μ_f [10^(-5) Pa・s] (8)よりμ_f
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-56.5 1.535
-40 9.870×10^(-6) 1.593
-10 1.342 1.673 1.692
0 1.293 1.724 (1.724)
15 1.227 1.771
20 1.205 1.822 1.786
40 1.128 1.915 1.846
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(8)式から求めた粘性係数 μ_f （黒字）と、機械用語集の μ_f （灰色）とで、値がずれています。有効数字は1桁ですが、そのまま進めます(^^;
高度80kmでの大気の質量密度 ρ_f は、平衡気温を-40℃と仮定して、
m = 28.966×10^(-3) /N_A (14-11d)下
N_A = 6.022×10^(23) [mol^(-1)]
n = n_0 exp( - z / z_0 ) (12-24)下
n_0 = 2.55×10^(25) [m^(-3)] (14-14a)
z_0 = 6820 [m] (10-8)下
などから算出しました。
[3]酸素の落下速度の計算
高度80km、気温-40℃での酸素の落下速度 u_t を計算します。酸素の落下速度は非常にゆっくりだと想像できるので、Re < 2 の(1)式を使います。
u_t = [ d^2 ( ρ_s - ρ_f ) g ] / (18 μ_f ) (1)
分子の質量密度 ρ_s は、m / d^3 程度でよいでしょう。ここで問題なのは、分子の大きさ d はどの程度が適当かということです。とりあえずいろいろ試します。
分子の直径から
窒素分子と酸素分子の絵
分子の直径から、落下速度を評価します。
ρ_s = m / ( π d^3 / 6 ) (9)
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ρ_s [kg/m^3] 落下速度 u_t [m/s] u_t [m/year]
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窒素 1.644×10^3 8.034×10^(-12)
酸素 2.087×10^3 9.509×10^(-12) 3.00×10^(-4)
――――――――――――――――――――――――――― (10), (11)
窒素も落下しました。却下！
1分子当たりの占有体積から
分子を箱で囲む絵
空気の数密度から、落下速度を評価します。
ρ_s = m n_0(z) (12)
n_0(80) = 2.55×10^(25) exp( -80 / 6.82 ) (14-14)
= 2.05×10^(20) [m^(-3)]
d = 1.70×10^(-7) [m] (13)
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ρ_s [kg/m^3] 落下速度 u_t [m/s] u_t [m/year]
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窒素 9.54×10^(-6) -3.26×10^(-16) -1.03×10^(-8)
酸素 10.9×10^(-6) 1.02×10^(-15) 3.21×10^(-8)
――――――――――――――――――――――――――― (14), (15)
窒素浮上で定性的には合格です。終端速度で計算すると、酸素分子が1km落下するのに、300万年かかります。ほぼ落ちてこないね(^^;
1000個程度のクラスター
分子の箱を重ねる絵
(12)式の ρ_s はそのままにして、 (13)式の d を10倍にします。酸素がたまたま1000個クラスターになっていたら、もっと速く落下するかも。
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落下速度 u_t [m/year]
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窒素 -1.03×10^(-6)
酸素 3.21×10^(-6)
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ちょっと速くなりました。それでも、年間数 μｍ です。酸素分子が1km落下するのに、3万年かかります。
更に大きなクラスター
箱の絵
d を100倍にします。
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落下速度 u_t [m/year]
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窒素 -1.03×10^(-4)
酸素 3.21×10^(-4)
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年間数 ｍｍ です。こんな大きなクラスターが偶然できたとしても、拡散でバラバラになる時間のほうがずっと短いので、意味がなかったかもしれません(^^;
レイノルズ数を確認
終端速度 u_t はレイノルズ数 Re で決まりますが、Re は u_t で決まります。層流域 (Re < 2) の公式を使って良いのか自信ないので、確認しておきます。ρ_s は最速の(9)式です。
―乱流域の公式(3)―――――――――――――――
u_t [m/s] Re
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窒素 4.537 1.063
酸素 5.023 1.136
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Re<2 です。
―中間域の公式(2)―――――――――――――――
u_t [m/s] Re
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窒素 1.167×10^(-4)
酸素 1.321×10^(-4) 2.987×10^(-5)
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これも Re<2 です。層流域の公式(1)で大丈夫でした！
[4]まとめ
終端速度の公式(1)～(3)は、空気の分子間距離に比べて剛体球が十分に大きいときに用います。例えば、空気中を雲のような霧粒や花粉が落ちてくる、などです。この公式を無理に使うと、上空 80km で酸素分子が 1km 沈降する時間は300万年です。前回、重力下の拡散から試算した時間は 3.8年でした。
拡散 + 落下のほうが圧倒的に早いので、酸素分子が沈降するとしたらこの機構でしょう。終端速度はどうでもいいということがわかりました(^^;
地球の大気が上空まで同じ組成なのは、風で巻き上がるせいかもしれません。次回は、対流の話です。つづくよ。
参考：後で書きます
Wikipedia、機械用語集
計算ノート⑰空気中の落下の終端速度
