重力下の理想気体は、地上での速度分布をマクスウェル分布にすれば、上空での空気が指数関数的に薄くなっていく事がわかりました。理想気体ならば、温度は地表と変わりません。実際の空気は上空の方が気温が低いのですが、計算ミスでしょうか。 温度一定なのは熱平衡ってやつです
順序は逆転しますが、スーパーボールモデルに戻ります。すべての分子は、温度に匹敵する一定の初速度を持ちます。初速度は垂直成分も水平成分もあります。相互作用のないスーパーボールモデルの弱点は、上空で速度の垂直成分だけが失われ、水平成分は地上と変わらないため、温度に方向ができてしまうことです。そこで、スーパーボール分子と重さのない袋に相互作用を持たせて、この問題を回避します。ここでは、分子と袋の上下面の相互作用で温度を整えます。これは、上から来た分子と衝突して運動量のやり取りをする場合のモデル化で、袋の上下面の間隔 Δz は分子の平均自由行程の代わりです。
ある一つの袋の底面をz、天面をz+Δzとします。袋の底面zから垂直速度v_zで上方に飛び出した分子を考えます。v_zは底面での温度T(z)に相当する初速度とします。
mv_z^2/2 = k_B T(z)/2
速度の水平成分も同様とします。
v_x^2 = v_y^2 = v_z^2
袋の天面まで到達した分子は重力で減速して、温度 T(z+Δz) の天面と衝突します。ここで速度の垂直成分と水平成分とでエネルギーが平均化されたものが、天面の温度とします。すると、温度は重力で減速する 1/3 だけ下がって、 温度差 ΔT は
k_B ΔT/2 = -mgΔz/3
となります。温度は高度に比例して下がります。
この方法で計算すると、衝突しない理想スーパーボールの3倍の高さまで跳ね上がります。理想スーパーボールの跳ね上がり高度を h とすると (h=k_B T(0)/2mg)、温度、圧力、数密度は、
T(z) = T(0)(1-z/3h)
P(z) = P(0)(1-z/3h)^(3/2)
n(z) = n(0)(1-z/3h)^(1/2)
となります。このモデルでは上空ほど高濃度になる問題は回避されました。しかし、温度、圧力、数密度ともに、実際の大気は説明できていないことがわかります。
（図中の点線が今回の計算値です。）
同じ計算を、マクスウェル速度分布にしてやってみないとね。(続くよ)
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参考：
大気の圧力 国際標準大気 - Wikipedia (2019/6/14)
地球の大気 地球の大気 - Wikipedia (2019/6/14)
